Constrained Optimization

Dua teknik optimisasi yang telah di bahas di atas adalah menggunakan asumsi tidak ada kendala. Padahal, dalam praktik manajerial sangat mungkin untuk timbulnya kendala. Sehingga keinginan untuk memaksimisasi profit juga tidak sesuai yang diharapkan. Kendala-kendala tersebut dapat berupa terbatasnya kapasitas produksi, tidak tersedianya tenaga terampil, kelangkaan bahan baku, adanya masalah legal, konflik dengan lingkungan, dan sebagainya. Untuk menghitung optimisasi profit dalam kondisi terkendala, maka dapat dilakukan dengan menggunakan dua cara yaitu, dengan optimasi terkendala biasa atau dengan metode lagrangian multiplier.

Misalnya, perusahaan ingin memaksimisasi profit dengan fungsi seperti yang dibahas di atas

 = 80X-2X2-XY-3Y2+100Y

tetapi menghadapi kendala bahwa output komoditi X dan Y harus berjumlah 12. Kalau ditulis dalam persamaan menjadi X+Y = 12

Menghadapi masalah seperti itu, maka perlu ditentukan dulu nilai salah satu variabel, apakah X atau Y terlebih dulu. Anggap saja yang dicari terlebih dulu adalah nilai X, maka:

X = 12-Y

Nilai ini kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan fungsi profit.

 = 80(12-Y)-2(12-Y)2-(12-Y)Y-3Y2+100Y

   = 960 – 80Y – 2(144-24Y+Y2) – 12Y + Y2 – 3Y2 + 100Y

   = 960 – 80Y – 288 + 48Y – 2Y2 – 12Y + Y2 – 3Y2 + 100Y

   = -4Y2 + 56Y + 672

Untuk memaksimisasi fungsi profit terkendala di atas, maka hasil tersebut diderivasi tingkat pertama, menjadi:

jadi nilai Y diketahui, yaitu Y = 7. Nilai Y ini di substitusikan ke dalam kendala, sehingga nilai X diketahui, yaitu X = 5

X = 12 – 7 = 5. Artinya, perusahaan akan mengalami profit maksimum ketika menjual komoditi X sebanyak 5 unit dan komoditi Y sebanyak 7 unit. Dengan demikian total profitnya akan dapat diketahui, yaitu:

 = 80(5) – 2(5)– (5)(7) – 3(7)+ 100(7)

   = 868

Apabila dibandingkan dengan kondisi tanpa kendala yang besarnya mencapai 1.356,52, maka dengan kendala profitnya menjadi lebih kecil.

Metode Lagrangian Multiplier

Cara yang baru saja dibahas ini, dapat dilakukan dengan menggunakan metode yang agak berbeda, yaitu metode lagrangian multiplier. Metode ini mempunyai ciri khas yaitu: 1) penggunaan persamaan fungsi lagrangian yang disimbolkan dengan L mewakili variabel dependen. 2) penggunaan simbol  (lambda) yang digunakan sebagai representasi kendala, yang sekaligus digabungkan ke dalam persamaan fungsi lagrangian. 3) nilai kendalanya dipersamakan dengan nol terlebih dulu.

Sebagai contoh, dengan mengulang persamaan fungsi profit yang dibahas di atas

 = 80X-2X2-XY-3Y2+100Y dan kendala yang tetap sama, yaitu X+Y=12, dengan menggunakan fungsi lagrangian akan dipersamakan dengan nol menjadi:

X+Y-12 = 0

maka dengan menggunakan metode lagrangian multiplier ini akan dituliskan menjadi sebagai berikut:

L = 80X-2X2-XY-3Y2+100Y+(X+Y-12)

Untuk mendapatkan nilai maksimisasi profit, maka perlu dilakukan partial derivative atas Ldengan variabel X,Y, dan  secara bergantian. Hasil dari partial derivative tersebut masing-masing perlu dipersamakan dengan nol.

Untuk mendapatkan nilai X,Y,, dan memaksimalisasi Ldan , maka perlu substraksi atas masing-masing hasil derivasi yang dipersamakan dengan nol tersebut.

100-X-6Y+= 0   dikalikan -1 menjadi

-100+X+6Y-= 0

  80-4X-Y+ = 0

-20-3X+5Y    = 0

untuk dapat disubstraksi dengan X+Y-12=0, maka angka ini dimultiplikasi dengan angka 3 hingga menjadi:

  3X+3Y-36= 0

-3X+5Y-20= 0

       8Y-56 = 0

dengan demikian nilai Y diketahui, yaitu 56/8=7. Nilai X juga menjadi diketahui, yaitu X+7-12=0; jadi X=5. Nilai  juga diketahui, yaitu = 868.

 = 80(5) – 2(5)– (5)(7) – 3(7)+ 100(7)

   = 868

Dengan diketemukannya nilai X, Y, , maka nilai juga dapat diketahui. Caranya dengan memasukkan angka-angka tersebut ke dalam salah satu persamaan yang mengandung unsur . Misalnya hendak dimasukkan ke dalam persamaan

– 5 –6(7) + 100 = -

-5 –42 + 100 = -



nilai l ini penting untuk dterjemahkan. Nilai ini merupakan efek marginal yang menunjukkan besarnya nilai perubahan profit akibat adanya perubahan pada kendala. Dengan nilai tersebut dapat diartikan bahwa jika kendala berkurang sebesar 1 unit, maka profit akan meningkat sbesar 53 rupiah. Sebaliknya jika kendala meningkat 1 unit, maka profit akan berkurang sebesar 53 rupiah.

2.2.  Hubungan Antara Total Revenue, Total Cost dan Profit

Penghitungan laba dapat dimodelkan dengan persamaan  TR – TC. Persamaan ini hanya menjelaskan tingkat laba yang diperoleh pada waktu tertentu saja, tetapi tidak dapat menjelaskan rangkaian historisnya kapan laba suatu perusahaan akan mencapai titik optimal.

Dalam periode usaha, sangat memungkinkan perusahaan mengalami perubahan revenue, apakah itu mengalami kenaikan ataupun penurunan, Begitu juga untuk total cost yang cenderung berkarakter sama. Model yang kiranya cocok untuk menjelaskan perubahan TR ataupun TC adalah dengan menggunakan tabel, sehingga dapat merunut riwayat data. Selain itu dapat dikembangkan lagi menjadi hitungan-hitungan yang lebih detil, seperti penghitungan marginal cost (MC), marginal revenue (MR), dan sebagainya.

POS-POS TERBARU